Unityのフォーラムを眺めていたら見つけたので投稿。

aromana said: ↑
Is the solution in this thread the best available solution for supporting emojis in text fields in Unity?
In 2021 it seems like a pretty important feature especially for mobile users.

My plan is to add support for color glyphs (emojis) in the next set of preview releases for Unity 2019.4 or newer.
This new functionality will not be in the first few preview releases but it will make it there by the time those are out of preview.
-Stephan_B, Feb 23, 2021

引用: Full Emoji Support Api (emoji Sequen

どうやらUnity 2019.4以降のバージョンでプレビュー状態を何度か経て正式に導入される予定みたいですね。
現状、絵文字表示はUnity公式でサポートされておらず、やる場合はTextMeshPro + Full Emoji Support Apiを使うのが現状ベストな方法そうです。
ただ、これは結構なデータサイズの絵文字アトラスをプロジェクトに導入しないといけないのと、異体字セレクタのサポートが無いため絵文字によっては豆腐が表示されてつらい部分があるので期待したいところ。